Évaluation diagnostique en mathématiques

Le groupe “Outils pour l’évaluation diagnostique en mathématiques” de l’académie de Clermont-Ferrand a conçu depuis 2004 une douzaine d’outils particulièrement intéressants. Ces évaluations suivent avec précision le cahier des charges rigoureux fixé par la D.E.P.P. pour la Banque d’outils.

L’évaluation diagnostique ( par opposition avec formative ou sommative) permet à l’enseignant de repérer avec précision les causes d’erreurs ou les freins à l’apprentissage. Elle tend à approcher des processus cognitifs mis en oeuvre dans la démarche de résolution. Elle peut être utilisée en amont afin de remédier avant de présenter une nouvelle notion. Les outils présentés demandent peu de temps de passation (10 min en moyenne), la correction est rapide.

Le groupe Clermontois est très actif, voici leurs travaux :

Utiliser une calculatrice pour calculer des quotients	Une série de calculs sur des quotients est proposée et l’élève doit utiliser sa calculatrice pour donner le résultat sous forme d’une fraction la plus simple possible. On ne peut plus aujourd’hui ignorer le calcul « instrumenté » en conformité avec les programmes. L’outil se propose de tester si les élèves savent se servir d’une calculatrice pour calculer des quotients de la forme , ou encore . Une erreur prévisible est que les élèves ne respectent pas les parenthèses implicites représentées par les barres de fractions ou n’utilisent pas la touche d/c pour obtenir le résultat sous la forme d’une fraction.
Reconnaître les priorités de calcul dans un calcul en ligne	L’élève doit calculer (sans calculatrice) des expressions écrites en ligne, sans parenthèses. Cet outil cherche à détecter des erreurs induites par la nature des nombres : l’élève focalise son attention sur les nombres et les arrangements possibles en occultant les priorités opératoires.
Réduire une expression littérale	La réduction d’une expression littérale pose souvent problème. Les erreurs et les causes en sont multiples. Cet outil a pour but de cerner quelques erreurs précises. repérer les élèves qui confondent et . repérer les élèves qui font des réductions incomplètes comme par exemple : au lieu de ou au lieu de .
Reconnaître les priorités de calcul dans un calcul en ligne (bis)	L’élève doit calculer (sans calculatrice) des expressions écrites en ligne, sans parenthèses. Cet outil cherche à détecter des erreurs induites par la nature des nombres : l’élève focalise son attention sur les nombres et les arrangements possibles en occultant les priorités opératoires.
Multiplier une fraction par un nombre	L’outil se présente sous la forme d’un QCM dans lequel l’élève entourera la bonne réponse. Multiplier une fraction par un nombre parait en général plutôt simple au début de l’apprentissage, mais très vite apparaissent des dérives. L’outil permet de repérer les erreurs du genre donne , ou , ces erreurs étant apparues comme les plus fréquentes lors de pré-tests effectués dans des classes de Collège (de la sixième à la troisième). L’outil permet également d’observer d’éventuelles différences de traitement lorsque les calculs sont situés dans un contexte (cadre numérique, géométrique, littéral…) ou en dehors de toute situation problème.
Pourcentages	L’outil se présente sous la forme d’un QCM dans lequel l’élève doit cocher la bonne réponse. L’outil propose d’examiner comment l’élève applique un pourcentage avec deux types d’erreurs possibles : • L’erreur consistant à utiliser le modèle additif (ajouter ou retrancher le taux de pourcentage à un nombre donné). • L’erreur consistant à ne pas prendre le bon ensemble de référence pour appliquer le pourcentage.
Parenthèses et écritures fractionnaires	L’outil propose de transformer des expressions numériques ou algébriques en ligne, en expressions utilisant le trait de fraction, et inversement. Les élèves ont souvent une lecture des expressions numériques ou algébriques qui ne correspond pas aux conventions de priorité mathématiques et on constate des « simplifications » incorrectes lors de calculs concernant des fonctions rationnelles. L’outil repère les erreurs dues à un mauvais usage du symbole de la division ou du trait de fraction.
Parallèles et perpendiculaires Perception	L’outil propose diverses situations dans lesquelles l’élève doit reconnaître des droites qui semblent parallèles ou semblent perpendiculaires. Il permet de distinguer ceux qui confondent les deux notions, ceux qui confondent des droites parallèles et des droites dont le point d’intersection n’est pas en évidence.
Parallèles et perpendiculaires Codages et propriétés	L’outil propose diverses situations dans lesquelles l’élève doit reconnaître des droites parallèles ou des droites perpendiculaires. Il permet de distinguer ceux qui restent en perception, éventuellement en ne tenant compte que des parties dessinées des droites, ceux qui reconnaissent une situation grâce au codage, et ceux qui utilisent des propriétés.
Multiplier agrandit !?…	Cet outil cherche à examiner la perception de la multiplication par un nombre strictement inférieur à 1 ainsi que la perception de la division par 0,1. Il vise à repérer les erreurs suivantes : « Multiplier par un nombre (positif) agrandit et diviser par 0,1 diminue ». L’élève pense que le produit de deux nombres est toujours supérieur aux facteurs de départ et que la division diminue. La non-cohérence entre les résultats en fonction du cadre de l’exercice (abstrait avec les nombres seuls, géométrique avec les figures, concret dans des exemples de la vie courante).
Multiplier agrandit, diviser diminue ?!…	Dans la langue française, « Multiplier » signifie : « Augmenter le nombre, la quantité de ». Cet outil cherche à examiner la perception de la multiplication et de la division par un nombre strictement inférieur à 1. Il vise à repérer les erreurs suivantes : « Multiplier par un nombre (positif) agrandit ». L’élève pense que le produit de deux nombres est toujours supérieur aux facteurs de départ. « Diviser par un nombre (positif) diminue ». L’élève pense que le quotient de deux nombres est toujours inférieur au dividende. Cet outil reprend certains items de l’outil « Multiplier agrandit » en élargissant aux effets de la division.
Écriture algébrique d’un programme de calcul	Les récentes épreuves du brevet ont montré que si l’application d’un programme de calcul à un nombre donné paraît plutôt bien réussie, les élèves ne pensent pas à traduire ce programme sous forme littérale et ne sont donc pas en mesure de généraliser ou prouver une conjecture. Cette compétence, pourtant nécessaire pour réaliser des démonstrations, est en effet peu entraînée. L’outil permet de repérer les erreurs suivantes : La non-utilisation d’une lettre pour modéliser la variable. La mauvaise utilisation des codes de priorité, notamment les parenthèses mal placées ou inexistantes. La non-reconnaissance d’une expression littérale comme expression d’un programme de calcul. La confusion entre programme de calcul et équation.

Outils pour l’évaluation diagnostique en mathématiques

A visiter, le portail de l’Académie de Clermont-Ferrand concernant l’évaluation diagnostique , résultats du travail du groupe IREM – Rectorat de Clermont-Ferrand, chargé d’élaborer des outils d’aide à l’évaluation diagnostique.