Épreuve de mathématiques du Brevet des collèges 2007

Comme prévu voici l’épreuve de ce matin et sa correction.

C’est un sujet national.

L’épreuve semble facile de prime abord ( en particulier le QCM d’algèbre ). Je trouve cependant que le deuxième exercice d’algèbre est difficile et inhabituel.

En géométrie que du classique mais la qualité de la rédaction va compter.

Bonnes vacances.

Voici le sujet et son corrigé. ( Il y a forcément des coquilles ! )

Brevet 2007 en pdf

Merci \LaTeX

NB : Quelques fichiers du même genre sont disponibles ici.

Quelques ressources supplémentaires à découvrir sur ce site.

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Xmoto

Xmoto

Les vacances sont enfin là.

Vous ne jouez jamais ? Laissez tomber les jeux de cartes sous Windows auxquels vous vous adonnez en cachette et que vous tentez de masquer dès que l’on rentre dans votre bureau.

Xmoto est bien plus amusant et surprendra votre visiteur. Il permet de se détendre 1 minute ou plus si par malheur l’addiction vous prend.

Je joue peu avec mon ordinateur mais je dois avouer que Xmoto a eu raison de moi.

Un jeu en 2D de moto trial où votre objectif est de finir le parcours avec le meilleur temps. La prise en main de la moto n’est pas immédiate mais très intuitive finalement. En plus de battre vos meilleurs scores vous pouvez les confronter à ceux du reste du monde par Internet.

C’est évidemment un jeu libre et gratuit, mis à jour régulièrement, et pour lequel près de 1000 niveaux existent aujourd’hui.

Il fonctionne aussi bien sous Linux, Mac et Windows.

A vous de jouer !

Dernière version constatée : 0.3.3 du 28 août 2007

Grigori Perelman démontre la conjecture de Poincaré

Andrew Wiles et le théorème de Fermat

Portrait d’Andrew Wiles

En octobre 1994, un mathématicien anglais, Andrew Wiles, met la touche finale à la démonstration du dernier théorème de Fermat.

Revenons sur ce mathématicien d’exception, honoré par la médaille Fields en 1998.

À l’âge de 10 ans, en 1963, Andrew Wiles est déjà fasciné par les mathématiques. Un jour à la bibliothèque il découvre une conjecture énoncée en 1641 par le mathématicien Pierre de Fermat. L’apparente simplicité du problème fascine le jeune Andrew. Habituellement, en mathématiques, la moitié de la difficulté consiste à comprendre la question. Mais ici, même un garçon de 10 ans pouvait bien la comprendre ( voir encadré ). Andrew s’affaira alors naïvement à appliquer son bagage limité en mathématique à la résolution de ce problème. Ce fut en vain il va s’en dire, mais ce problème ne devait plus le quitter.

– – –

Le théorème de Fermat

On sait que 3^2+4^2=5^2 ou encore que 12^2+5^2=13^2. Il existe une infinité de tels triplets d’entiers. Par contre on ne trouve aucun triplet d’entiers a, b et c non nuls tels que a^3+b^3=c^3; c’est la même situation avec la puissance 4 et les suivantes.

Le théorème de Fermat s’exprime ainsi :

L’équation a^n+b^n=c^n n’a pas de solution entière non nulle pour n>2

Ce problème facile à comprendre porte le nom de Pierre de Fermat un mathématicien toulousain du XVIIème siècle. Dans un ouvrage énonçant cette conjecture, il laissa cette note mystérieuse :

« J’ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir »

350 ans de recherche pouvait commencer…

– – –

En 1986 Wiles abandonna tout travail qui n’intéressait pas directement le dernier théorème de Fermat. Chaque fois que possibles, il évitait les distractions attachées au fait qu’il était un membre de la faculté et travaillait chez lui, où il pouvait se retirer dans son grenier. Là, il essayait de développer les techniques connues, espérant bâtir une stratégie contre la conjecture. Dès lors qu’il s’était attaché à la démonstration, Wiles prit la décision surprenante de travailler dans l’isolement et le secret complet.

Pour trouver une solution, Wiles recourut à son approche ordinaire des problèmes difficiles. Il griffonne, il gribouille. Comme outil, une feuille de papier, un crayon et son esprit. Au bout d’une année de contemplation, Wiles décide de la stratégie à adopter. Voila comment il décrit sa demarche :

« On entre dans la première chambre et elle est obscure. Complètement obscure. On se heurte aux meubles, on finit par connaître leur emplacement. Après quelques six mois, on finit par trouver le commutateur et soudain, la pièce est éclairée. On peut voir exactement où l’on se trouve. Puis on passe à la pièce suivante, et l’on affronte de nouveau six mois d’obscurité. Donc, chacune des percées qui ont été faites et qui sont parfois brèves, ne durant qu’un jour ou deux, sont l’accomplissement des mois de tâtonnements dans le noir, sans lesquels il n’y aurait jamais eu de lumière. »

Au bout de six années d’efforts intenses, Wiles commençait à croire qu’il arrivait au terme.

C’est à l’occasion d’une conférence que Wiles sorti de son isolement. Vers la fin de sa présentation, beaucoup de gens dans l’audience prenait des photos et le directeur de l’Institut s’était dûment préparé, avec une bouteille de champagne. Il y eut un silence solennel quand Wiles lut la preuve et lorsqu’il écrivit l’énoncé du dernier théorème de Fermat. Il déclara alors humblement: « Je crois que je m’arrêterai ici. »

Avant de pouvoir crier victoire, il fallait que la preuve de Wiles soit minutieusement vérifiée par la communauté mathématique. Six mathématiciens se partagèrent la tâche. Des erreurs furent révélées, mais Wiles pouvait les corriger. Or, aux environs du 23 août 1993, une erreur supplémentaire fut décélée qui se voulu fort coriace. Wiles espérait pouvoir la corriger aussi facilement que les autres, mais en vain. Les mois passèrent sans qu’il puisse contourner le problème.

Wiles rentra dans une longue période de doutes ou il failli même abandonner le problème. Il s’isola à nouveau et enfin le 19 septembre 1994, il corrigea cette erreur. Le mois suivant, Wiles compléta deux manuscrits contenant la preuve de la conjecture Taniyama-Shimura. Le dernier et grand théorème de Fermat n’en était alors qu’un conséquence.

350 ans après Fermat, le problème était résolu.

A lire pour des informations plus détaillées :

Sur ce blog, un lien vers le fascinant film de Simon Singh

Le livre de Simon Singh : Le dernier théorème de Fermat

  • Broché: 334 pages
  • Editeur : Jean-Claude Lattès; Édition : JC Lattès (4 février 1998)
  • Langue : Français
  • ISBN-10: 2709618540
  • ISBN-13: 978-2709618540
  • Lien Amazon
  • Existe aussi en Poche

Lire également d’autres nouvelles des mathématiciens sur cette page.

L’actualité des nombres – n°1

Le premier numéro de ce petit bulletin amateur à parution aléatoire et quasi-annuelle est sorti il y a plus d’un an à l’occasion de ma visite dans un joli collège de montagne.

L’actualité des nombres – n°1 – Février 2006

L’actualité des nombres – n°2

Le numéro 2 de « L’actualité des nombres » vient de sortir !

Ce petit bulletin à destination de mes élèves de collège, à parution aléatoire, est enfin terminé.

L’actualité des nombres – n°2 – Juin 2007

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Alain Connes – Un mathématicien français de renommée internationale

Portrait d’Alain Connes

Le CNRS a décerné la Médaille d’Or 2004 au mathématicien français Alain Connes.

Né en 1947 à Draguignan, Alain Connes est un des fondateurs de la géométrie non-commutative, une théorie issue de la physique quantique et de la relativité d’Einstein. Il va révolutionner la théorie des algèbres d’opérateurs et résoudre la plupart des problèmes de ce domaine. Pour ces travaux, il reçoit à 36 ans en 1983 la médaille Fields, l’équivalent du prix Nobel pour les mathématiques. Directeur de recherche au CNRS de 1981 à 1984, il est aujourd’hui titulaire de la chaire d’analyse et de géométrie du Collège de France.

Interrogé sur son parcours, Alain Connes évoque ce cours de sixième où un professeur de mathématiques trop exigeant posait des problèmes normalement destinés à des élèves de terminale. Appelé au tableau, Alain Connes énonça la solution sans savoir comment il était parvenu au résultat. C’est l’idée qu’il se fait de la capacité de chacun à aborder les mathématiques.

« Il faut laisser parler l’intuition, présente en nous mais que la plupart des gens refoulent. Surtout, il ne faut jamais accepter ni autorité ni dogme, la seule autorité en maths, c’est soi-même« .

Sur le mode de travail des mathématiciens, Alain Connes raconte l’anecdote du chercheur trouvé par un visiteur allongé sur son bureau, dans le noir, les yeux au plafond. « Le mathématicien doit avoir l’ensemble du problème à résoudre en tête« , et il peste contre l’ordinateur, qui certes, peut être une aide intéressante pour le calcul mais représente surtout une sollicitation permanente qui empêche de penser. Il est convaincu que pour bien travailler, il ne faut pas être un suiveur et qu’il faut protéger sa propre ignorance. Pianiste de talent, il dit « apprendre autant en déchiffrant les partitions de Chopin qu’en lisant des articles de mathématiques« .

De l’avis de tous, Alain Connes est l’un des plus grands mathématiciens de son temps. La médaille d’or 2004 du CNRS vient de récompenser ce chercheur aux découvertes impressionnantes…

Lire également d’autres nouvelles des mathématiciens sur cette page.

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