Andrew Wiles et le théorème de Fermat


Portrait d’Andrew Wiles

En octobre 1994, un mathématicien anglais, Andrew Wiles, met la touche finale à la démonstration du dernier théorème de Fermat.

Revenons sur ce mathématicien d’exception, honoré par la médaille Fields en 1998.

À l’âge de 10 ans, en 1963, Andrew Wiles est déjà fasciné par les mathématiques. Un jour à la bibliothèque il découvre une conjecture énoncée en 1641 par le mathématicien Pierre de Fermat. L’apparente simplicité du problème fascine le jeune Andrew. Habituellement, en mathématiques, la moitié de la difficulté consiste à comprendre la question. Mais ici, même un garçon de 10 ans pouvait bien la comprendre ( voir encadré ). Andrew s’affaira alors naïvement à appliquer son bagage limité en mathématique à la résolution de ce problème. Ce fut en vain il va s’en dire, mais ce problème ne devait plus le quitter.

– – –

Le théorème de Fermat

On sait que 3^2+4^2=5^2 ou encore que 12^2+5^2=13^2. Il existe une infinité de tels triplets d’entiers. Par contre on ne trouve aucun triplet d’entiers a, b et c non nuls tels que a^3+b^3=c^3; c’est la même situation avec la puissance 4 et les suivantes.

Le théorème de Fermat s’exprime ainsi :

L’équation a^n+b^n=c^n n’a pas de solution entière non nulle pour n>2

Ce problème facile à comprendre porte le nom de Pierre de Fermat un mathématicien toulousain du XVIIème siècle. Dans un ouvrage énonçant cette conjecture, il laissa cette note mystérieuse :

« J’ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir »

350 ans de recherche pouvait commencer…

– – –

En 1986 Wiles abandonna tout travail qui n’intéressait pas directement le dernier théorème de Fermat. Chaque fois que possibles, il évitait les distractions attachées au fait qu’il était un membre de la faculté et travaillait chez lui, où il pouvait se retirer dans son grenier. Là, il essayait de développer les techniques connues, espérant bâtir une stratégie contre la conjecture. Dès lors qu’il s’était attaché à la démonstration, Wiles prit la décision surprenante de travailler dans l’isolement et le secret complet.

Pour trouver une solution, Wiles recourut à son approche ordinaire des problèmes difficiles. Il griffonne, il gribouille. Comme outil, une feuille de papier, un crayon et son esprit. Au bout d’une année de contemplation, Wiles décide de la stratégie à adopter. Voila comment il décrit sa demarche :

« On entre dans la première chambre et elle est obscure. Complètement obscure. On se heurte aux meubles, on finit par connaître leur emplacement. Après quelques six mois, on finit par trouver le commutateur et soudain, la pièce est éclairée. On peut voir exactement où l’on se trouve. Puis on passe à la pièce suivante, et l’on affronte de nouveau six mois d’obscurité. Donc, chacune des percées qui ont été faites et qui sont parfois brèves, ne durant qu’un jour ou deux, sont l’accomplissement des mois de tâtonnements dans le noir, sans lesquels il n’y aurait jamais eu de lumière. »

Au bout de six années d’efforts intenses, Wiles commençait à croire qu’il arrivait au terme.

C’est à l’occasion d’une conférence que Wiles sorti de son isolement. Vers la fin de sa présentation, beaucoup de gens dans l’audience prenait des photos et le directeur de l’Institut s’était dûment préparé, avec une bouteille de champagne. Il y eut un silence solennel quand Wiles lut la preuve et lorsqu’il écrivit l’énoncé du dernier théorème de Fermat. Il déclara alors humblement: « Je crois que je m’arrêterai ici. »

Avant de pouvoir crier victoire, il fallait que la preuve de Wiles soit minutieusement vérifiée par la communauté mathématique. Six mathématiciens se partagèrent la tâche. Des erreurs furent révélées, mais Wiles pouvait les corriger. Or, aux environs du 23 août 1993, une erreur supplémentaire fut décélée qui se voulu fort coriace. Wiles espérait pouvoir la corriger aussi facilement que les autres, mais en vain. Les mois passèrent sans qu’il puisse contourner le problème.

Wiles rentra dans une longue période de doutes ou il failli même abandonner le problème. Il s’isola à nouveau et enfin le 19 septembre 1994, il corrigea cette erreur. Le mois suivant, Wiles compléta deux manuscrits contenant la preuve de la conjecture Taniyama-Shimura. Le dernier et grand théorème de Fermat n’en était alors qu’un conséquence.

350 ans après Fermat, le problème était résolu.

A lire pour des informations plus détaillées :

Sur ce blog, un lien vers le fascinant film de Simon Singh

Le livre de Simon Singh : Le dernier théorème de Fermat

  • Broché: 334 pages
  • Editeur : Jean-Claude Lattès; Édition : JC Lattès (4 février 1998)
  • Langue : Français
  • ISBN-10: 2709618540
  • ISBN-13: 978-2709618540
  • Lien Amazon
  • Existe aussi en Poche

Lire également d’autres nouvelles des mathématiciens sur cette page.

40 Réponses to “Andrew Wiles et le théorème de Fermat”

  1. France, terre des maths ? – L'influx Says:

    […] dont beaucoup ne furent démontrés que bien plus tard, dont le célèbre théorème de Fermat, démontré en 1994 par Andrew Wiles. Il conçoit également, un an avant Descartes, le principe de base de la géométrie analytique […]

  2. Taibi Mostefa Says:

    Je suis un algerien j ai un diplome des etudes supierieur en maths de l universite de Tlemcen j ai pu resourdre l e quation de fermat par une methode tres simple propre a moi q un eleve du terminal pourra l assimule a l aide de deux theoremes nouvelles simples cle de la solution je suis tres sur que j ai la bonne et merveilleuse resolution je veux uniquement la publier maintenant je suis loin du domaine scientifique jai pu la resourdre il y a bien longtemps et je ne savais pas que des gens en sacrifier beaucoup pour la resoudre j ai ecris a des professeur mais sans reponse je sais qu ils ne me croient pas je vous dis une chose c est que j ai l unique et bonne resolution meilleur que celle de Andre Wiles un millards de fois si elle est bien sur juste je l avait pas vu mais je sais qu elle est trop compliquer je sais bien que vous ne me repondrez comme les autres mais n
    oublier pas ce nom.

    • SOFIANE Says:

      Bonjour Monsieur, je suis en master mathématique en algerie a l’université de bab ezzouar à alger, j’aimerais bien voir ta démonstration et peut être je peux t’aider avec des enseignant spécialiste dans le domaine. Si vous voulez me laisser ton mail pour te contacter sa me ferais plaisir. Merci.

    • SOFIANE Says:

      Bonjour Monsieur, je suis en master mathématique a l’université de bab ezzaour à alger je veux bien voir ta démonstration si c’est possible et peut être t’aider je peux vous mettre en contact avec des chercheur de bab ezzouar. Si vous voulez voila mon mai dexter90@hotmail.fr. Merci.

  3. Bernard Michaud Says:

    Bonjour,
    Je fais suite à mon message du 17 Novembre 2010. J’ai scanné les pages du carnet que m’a remis mon père. Elles se trouvent sur hostingpics aux adresses çi dessous. Je sais que c’est une bouteille jetée à la mer mais peut-être aura-t-elle la chance de s’échouer sur l’ordinateur d’un mathématicien curieux.
































  4. Anonyme Says:

    Dans ce theoreme, n doit it etre aussi un nombre entier? Si non, il doit exister une solutions.

    • Fabrice ARNAUD Says:

      Je suis pas super fort, mais bon, si n est entier par de solution au dela de 2, si n est un rationnel, de type p/q, j’imagine que l’existence d’une solution implique une solution pour un autre entier qui doit être multiple de p et q… ou quelque chose comme cela;

      Enfin,si n est irrationnel, il doit y avoir des résultats sur le caractère irrationnel de a^n ou pas…

  5. Anonyme Says:

    Pour ne pas se prendre la tête, la réponse est simple :
    si x^n + y^n = z^n
    alors
    x^n + y^n – z^n = 0
    C’est le sort de toute équation, égale à rien !
    Fermat avait la réponse mais, manque de place sur son manuscrit …
    :-)

  6. Pharmacie Says:

    Je suis d’accord avec les avis precedents

  7. bermi Says:

    Bonjour,
    Mon père décédé il y a 6 ans était professeur d’université et chercheur en médecine et pharmacie. Il a passé lui aussi une grande partie de ses loisirs à tenter de trouver une solution au théorème de Fermat. Il s’est orienté vers une solution arithmétique en utilisant la parité, en pensant que la fameuse solution de Fermat devait être de même nature.
    Plusieurs fois des erreurs ont été révélées puis corrigées. A la fin de sa vie, il nous a annoncé avoir enfin trouvé mais, n’ayant plus la force de faire connaître ses travaux, il a remis a chacun de ses 4 enfants un cahier dans lequel se trouve une démonstration qu’il pensait être exacte. Il a aussi pris les précautions nécessaires pour protéger ses travaux.
    Elle tient sur une trentaine de petites pages calligraphiées ce qui devrait représenter 4 ou 5 pages en caractère d’imprimerie. La démonstration est structurée en chapitres et sa lecture est agréable. Une première lecture par des non spécialistes (dont moi) n’a pas révélé d’erreur évidente.
    Je connais les efforts et les déceptions de ceux qui s’y sont frottés depuis 300 ans et je ne me fais que peu d’illusions.
    En mémoire de mon père, je désire cependant en avoir le coeur net. Je saurais être très reconnaissant envers un spécialiste de ce domaine des mathématiques qui pourrait examiner ces jolies pages.
    Cordialement,
    BM

    • Fabrice ARNAUD Says:

      Votre témoignage est très émouvant. Il montre la force de fascination qu’a exercé ce théorème sur des générations entières de scientifiques. C’est un bel héritage qu’il vous laisse, la passion de la culture mathématique. Je ne suis qu’un enseignant du second degré, et la seule chose dont je suis sur, c’est que la démonstration de ce théorème est la conséquence de 300 ans de progrès mathématiques. Ce qu’a montré Andrew Wiles dépasse très largement le cadre du théorème de Fermat. Est-ce si important de savoir si ces démonstrations sont justes ??? Vous trouverez certainement un professeur de mathématiques du supérieur pour identifier une argument technique hors de votre portée et de la mienne qui révélera une erreur. Ces mathématiques là sont froides et douloureuses. Celles de votre père semblent poétiques, motivantes, philosophiques… Puissiez-vous les préserver !

      Cordialement

      Que dites-vous ?… C’est inutile ?… Je le sais !
      Mais on ne se bat pas dans l’espoir du succès !
      Non ! non, c’est bien plus beau lorsque c’est inutile !

      Cyrano de Bergerac – Edmond Rostand

  8. Daniel Forster Says:

    Bonjour,
    j’aimerai soumettre une proposition de démonstration nettement plus simple pour cette conjecture (voir ci-dessous). Savez-vous par quel canal je peux faire vérifier/confirmer mes travaux et éventuellement les publier? Merci.

    Daniel Forster

    Démonstration à consulter sur PICASA:
    http://picasaweb.google.be/108068024440150505951/FERMAT?authkey=Gv1sRgCMK44eXdkYiUTg#5510880230066488930

    • Fabrice ARNAUD Says:

      C’est toujours intéressant de constater cet enthousiasme autour du théorème de Fermat. Malheureusement en mathématiques de nombreuses questions simples ont des réponses d’une immense complexité ( quand elles ont des réponses… ).
      En ce qui concerne ta démonstration, qui de prime abord semble relever du niveau de la classe de terminale, je me suis amusé à l’essayer avec n=2, x=3, y=4 et z=5.
      On obtient alors comme égalité 3 : 4(4-3)=5(5-\dfrac{7}{5}\times 3) d’où 4=5(5-\dfrac{21}{5}) … ce qui est vrai…
      Mais cela contredit ton affirmation ( je cite « K est non entier et par conséquent z_1^{n-1}(z_1-Kx) n’est pas un entier ») selon laquelle un produit d’un non entier par un entier est forcément non entier… et non 5\times \dfrac{1}{5} est un entier !!!

      Pour n>2 le même argument reste valide…

      Bien à toi

  9. Anonyme Says:

    selon cet article , il existe une infinité de solution pour l’équation x^n +y^n = z^n pour n impair > 2 par exemple, en effet , prenez un x entier quelconque , y=-x , ça reste entier et z=0. Cela marche pour tout entier . Ce n’est donc pas ça le vrai théorème de Fermat.

    • Fabrice ARNAUD Says:

      On peut tergiverser sur la mot entier… entier relatif, entier naturel, entier algébrique… Mais Fermat affirme qu’il n’y a pas de solutions non nulles à cette équation pour n>2, ce qui élimine les passionnants cas particuliers : 0^n+0^n=0^n ou encore p^{2n+1}+(-p)^{2n+1}=0^{2n+1}.
      Je fais mes excuses aux vrais mathématiciens par avance, ce blog vulgarise quelque peu les mathématiques que j’aime, et parfois certaines imprécisions se glissent.

  10. NICOLAE MARIUS Says:

    Bonjour
    Je m’appelle Marius Nicolae et est un admirateur du théorème de Fermat. Essayer de prouver le fameux théorème nous sommes arrivés à une généralisation de cette absulut étonnant savoir, nous avons conclu que ;équation x ⁿ + Y ⁿ + W ⁿ = ⁿ Z ne pas de solutions naturel en mai de 3 et en augmentant le nombre de termes augmente le degré minimum de ;équation pour laquelle il existe un lien entre solution.Prin donc le nombre de termes et de ;équation degré dans un sens général.
    Cette déclaration est intuitif, mais j’ai vérifié avec ordinateur pour un certain nombre de façons. Nous avons envoyé des lettres à plusieurs universités sans recevoir une réponse. Je ne peux pas croire que les mathématiques ne peuvent pas apprécier un des fameux théorème en théorie des nombres, et que omenirii.Si aidé des progrès que je ai dit, il semble que le théorème de Fermat est pas une question fermée et peut offrir de nouveaux horizons pour la recherche. Je ne pouvais vraiment aider les coquilles afirnmatii public?
    Un Sincèrement,

  11. lili Says:

    c a peu près bien

  12. lasius Says:

    Bon, le théorème de Fermat a été démontré, cool !
    Mais, le mystère demeure… Quelle était la merveilleuse démonstration de Fermat à une époque où la conjecture de Taniyama-Shimura n’exisait pas ?

  13. Anonyme Says:

    trop nul !!!!!!!!!!!!!!!!!

  14. pi314159 Says:

    « Le 4 Août 1753, Euler écrit à Goldbach qu’il a résolu le cas particulier n = 3. Mais sa démonstration contient une grave erreur, due au fait que les propriétés des anneaux d’entiers dans C ne sont pas les mêmes que dans Z. On peut cependant la corriger pour la rendre valable.

    Lamé annonce en 1847 avoir démontré le théorème de Fermat. Il factorise l’équation de Fermat en produit de facteurs dans le plan complexe, mais il a besoin pour conclure de l’unicité de la décomposition en facteurs d’un certain type.

    Kummer, le 24 Mai 1847, envoie une lettre à l’Académie des Sciences où il établit que l’unicité est fausse, mais où il donne une technique pour s’en sortir quand même, grâce au concept d’idéal. Seuls échappent à la méthode de Kummer les entiers qui divisent les numérateurs de certains nombres de Bernoulli. 37 est un des ces nombres désagréables, d’autres sont 59 et 67, et il y en a une infinité.

    1 000 fausses preuves du théorème sont publiées entre 1908 et 1912. Le problème n’avance pas beaucoup, si ce n’est d’un point-de-vue purement quantitatif. »
    http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/viemaths/hist/mthacc/wiles.htm

    Ma tentative préférée étant sans conteste celle de Marcel Pagnol qui toute sa vie s’est passionné pour ce fascinant théorème.

    Bienvenue donc cher Rachid dans l’immense, réputé et si bien fréquenté club des « démonstrateurs » du théorème de Fermat.

  15. akdim rachid Says:

    je viens de faire ma propre demos pour le theoreme de fermat en 8 mois il me reste un seule etape
    il suffit de demontrer qu une equation specifique de degre 3 n admet pas de solution dans l ensemble des entiers naturel .

    z3=3*k2+*k+1 n admettra pas de solution qlq soit z et k dans l ensemble N

    CELUI QUI A UNE REPONSE VEUILLEZ ME LA DONNER

  16. Riemann des Charentes Says:

    Bravo Shadok ! je suis vraiment émerveillé. Je la trouve éblouissante. T’en as pas d’autres comme ça ? J’en veux encore.

  17. Gansinhounde Says:

    Je suis très fasciné par les travaux de Wiles. Mais comme il l’a dit lui même cette preuve n’est certainement pas celui de Fermat.
    Je voudrais savoir si au jour d’aujourd’hui, il existe une autre démonstration du dernier théorème de Fermat.

  18. pi314159 Says:

    La lecture des commentaires précédents répond à votre demande.

  19. HAFIZ Says:

    SALUT
    J’aimerais avoir la démonstration entière du théorème

    de FERMAT.

  20. pi314159 Says:

    Votre enthousiasme est très encourageant. Je ne doute pas qu’il vous conduira sur les traces de Wiles…

  21. géraldo Says:

    géraldo AKADJAME….je suis trop émotionner par les mathématiques…cela me ferais plaisir si tu m’écris à l’adresse: …
    je suis étudiant en première année de mathématiques à la faculté des sciences…
    écris moi pour k’on puisse échanger des idées…

  22. Anonyme Says:

    vais-je avoir aussi la potentialité de destituter l’un des plus grands problèmes mathématiques comme celui de john wiles ? je n’en sais rien ?
    mais je continuerai à nourrir ma passion pour les sciences exactes, jusqu’au jour ou mon effort et mon travail deviendrons fruitieux.
    parfois je met en doute ma capacité et mon esprit mathématique, à cause de la compétence de nos professeurs à l’université……….
    je suis étudiant en 1ère année de licience à la faculté de la science mathématique…..
    et j’aimerais devenir comme andrew wiles l’un des plus grands mathématiciens du monde….
    géraldo AKADJAME

  23. pi314159 Says:

    Le rôle des enseignants est entre autre de donner le goût et pourquoi pas l’envie à nos élèves d’aller plus loin que nous dans le domaine qui nous passionne. Si un futur Wiles est sur le point de naître dans cette classe de première, mon collègue peut être fier !

  24. MyMi Says:

    je ne vais pas repondre a votre qustion je suis selument en 1 er sientifique mais aujoud’hui mon prof de math nus a montrer 1 reportage sur ferma est sa derrnier theorie dont wiles la demontré … j’ADORE j’aimeré faire 1 chose comme lui en moin compliquer bien sur …

  25. pi314159 Says:

    La réponse à cette question devrait être spectaculaire. Malheureusement cela n’a pas beaucoup de sens.
    Andrew Wiles a trouvé la dernière étape qui conduit au résultat. Sa théorie va d’ailleurs bien plus loin que la question posée par Fermat.
    La démonstration de Wiles est constitué de toutes les publications ayant un rapport avec la question. En nombre de pages… c’est énorme.
    Quand ce travail aura été complètement digéré par la communauté des mathématiciens, des démonstrations plus synthétiques seront disponibles.
    N’est-ce pas le lot de tout les théorèmes ?

  26. e Michel Says:

    Combien de pages cette démonstration ?

  27. pi314159 Says:

    Les conjectures sont par nature non résolues.
    Voici certaines de ces questions sans réponse rigoureuse :
    – La conjecture de Goldbach,
    – La conjecture de Syracuse,
    – L’hypothèse de Riemann,
    – La conjecture des nombres premiers jumeaux,
    – La conjecture des nombres parfaits,
    – NP=P ?

    Le programme de Langland (Lire Pour la science novembre 2007) est fertile en conjectures sur la théorie des nombres.
    Les quelques exemples cités ci-dessus sont célèbres surtout quand à la relative simplicité de leurs énoncés. Conjecturer est à la base du travail du mathématicien; c’est une étape majeure de la démonstration.
    Et oui, la recherche en mathématiques n’est pas finie !!! :))

  28. tarik lahcen Says:

    mercis mr. wiles.
    je veux connu est ce qu’ils existent des conjectures en matématiques non resoluts. dans norte temps
    mercis

  29. pi314159 Says:

    Cher Shadok,
    Merci pour la clarté et la concision de ton commentaire. J’espère que grâce à ton éclairage le théorème de Fermat deviendra évident pour tous les béotiens de mon genre. Wiles aurait vraiment aimé te rencontrer plus tôt.
    En attendant de lire tes prochains travaux, pour lesquels tu recevras je n’en doute pas l’une des prochaines médailles Fields, je te remercie à nouveau pour ta contribution !

  30. shadok Says:

    C’est hyper simple !!!
    I. Une courbe elliptique E —-> on construit
    a) sa serie L (coeff de L=solution de E mod p)
    b) son group p-torsion —–> repesentant de Galoire R(E,p)
    II. Une formodulaire F ——> on construit
    a) sa serie M
    b) repesentant de Galoire R(F,p)

    et huuuupppp R(F,p)=R(E,p)

    DTF: Une solution de l’eq de Fermat —-> courbe elliptique E probleme, il n’existe pas de F tel que R(F,p)=R(E,p) !!!!

  31. pi314159 Says:

    La démonstration de Wiles est la dernière pièce d’un puzzle monumentale dont je me sens bien incapable de comprendre un jour dans le détail malgré les quelques diplômes de mathématiques que l’université à bien voulu me donner.
    Si le sujet vous interesse le livre d’Yves Hellegouarch, « Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles » est un bon point de départ. Y sont décrites les fonctions elliptiques, les courbes elliptiques et les formes modulaires. Ce livre qui s’adresse aux étudiants de deuxième cycle permet de se familiariser avec la théorie développée par Wiles.
    Je ne me sens ni le talent ni les compétences pour vous en dire plus.

  32. ouaddani Says:

    je veux la solution .


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