Valeurs approchées de nombres célèbres

Le calcul de valeurs approchées de constantes mathématiques célèbres marque l’histoire des mathématiques. On pense évidemment au nombre \pi qui d’Archimède à Ramanujan a fait l’objet de recherche de formules toutes plus extraordinaires les unes que les autres.

Avec l’informatique et la montée en puissance des micro-processeurs, ce travail se poursuit et le nombre de décimales calculées croit de manière quasi exponentielle. Ce n’est pas une simple course après le record du monde mais une base de donnée fondamentale pour tester les nouveaux algorithme de calcul.

Le site www.numberworld.org recense ces résultats. Ces calculs ont été effectués grâce au logiciel y-cruncher d’Alexander J. Yee.

Voici quelques unes de ces constantes :

\pi \approx 3,1415926535\ 8979323846\ 2643383279\ 5028841971\ 6939937510 à 10^{-50} près

Pi : Le fameux quotient du périmètre d’un cercle par son diamètre.

Records : 5 000 000 000 000 de décimales le 2 août 2010 par Shigeru Kondo et Alexander Yee après 90 jours de calcul.

\sqrt{2} \approx 1,4142135623\ 7309504880\ 1688724209\ 6980785696\ 7187537694 à 10^{-50} près

Racine carrée de 2 : Le seul nombre positif dont le carré vaut 2.

Records : 1 000 000 000 000 de décimales le 22 mars 2010 par Shigeru Kondo après 193 heures de calcul.

\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339887\ 4989484820\ 4586834365\ 6381177203\ 0917980576 à 10^{-50} près

Le fameux nombre d’or dont la légende dépasse l’intérêt. Le seul nombre positif tel que \phi^2=\phi+1

Record : 1 000 000 000 000 de décimales le 8 juillet 2010 par Alexander Yee après 114 heures de calcul.

e \approx 2,7182818284\ 5904523536\ 0287471352\ 6624977572\ 4709369995 à 10^{-50}

Le nombre d’Euler, e=\sum_{n=0}^{\infty}{\dfrac{1}{n!}} ou encore e^{i\pi}=-1

Record 500 000 000 000 de décimales le 5 juillet 2010 par Shigeru Kondo après 224 heures de calcul.

Vous pouvez télécharger, même si je le déconseille, les 5 000 000 000 000 décimales de \pi. L’espace nécessaire est de 2To, soit 2000 Go. Si un livre au format A4 devait contenir les décimales de \pi, chaque page recto-verso dans une police classique (Times 10pt) , il faudrait 413 359 789 feuilles.  Soit environ 41 km de haut !!!



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Psutils, psnup, psselect, ps2pdf

Je pars d’un fichier \LaTeX produisant un fichier ps de 6 pages. Je veux que les quatre premières pages forment un livret format A5 imprimable en A4 recto verso et la cinquième page et sixième page une annexe A5 recto verso.

Je vais donc créer un nouveau fichier postscript de 8 pages en réordonnant les pages ainsi : 1,4,2,3,5,5,6,6

psselect -p 4,1,2,3,5,5,6,6 -q original.ps >>1.ps

Reste à passer à deux pages par feuilles

psnup -2 1.ps >> 2.ps

Et voilà, 4 pages, la première (1,4), la deuxième (2,3), la troisième (5,5), la quatrième (6,6).

Pour les pdf maniacs,

ps2pdf 2.ps 2.pdf

Voir ma méthode de résolution du Rubik’s Cube qui est à l’origine de cet article.

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Droites remarquables du triangle et pst-eucl

Un deuxième exemple qui utilise l’extension euclidienne pst-eucl de pstricks.

\begin{pspicture}(16,16)
\psset{PointSymbol=+}   % Je préfére les + pour les points
\pstGeonode[PosAngle={180,45,0}, CurveType=polygon](0,0){A}(5,14){B}(16,0){C}  % Le triangle
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{A}{B}{C’}  % Définition et tracé des milieux
\pstMiddleAB[PosAngle=-135]{A}{C}{B’}
\pstMiddleAB[PosAngle=110]{B}{C}{A’}
\pstLineAB[nodesep=-2, linecolor=red]{A’}{A} % Tracé des médianes en rouge, elles dépassent de 2pt
\pstLineAB[nodesep=-2, linecolor=red]{B’}{B}
\pstLineAB[nodesep=-2, linecolor=red]{C’}{C}
% Ci-dessous les médiatrices avec des points cachés et un codage automatique
\pstMediatorAB[CodeFig=true, CodeFigColor=black, SegmentSymbol=pstslash,   PointName=none, PointSymbol=none, nodesep=-20, linecolor=blue]{B}{A}{M_1}{M_2}
\pstMediatorAB[CodeFig=true, CodeFigColor=black, SegmentSymbol=pstslashh,  PointName=none, PointSymbol=none, nodesep=-20, linecolor=blue]{A}{C}{M_3}{M_4}
\pstMediatorAB[CodeFig=true, CodeFigColor=black, SegmentSymbol=pstslashhh, PointName=none, PointSymbol=none, nodesep=-20, linecolor=blue]{C}{B}{M_5}{M_6}
\pstProjection[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{B}{C}[K_1]  % Pied des hauteurs avec une projection
\pstProjection[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{C}{B}[K_2]
\pstProjection[PointName=none, PointSymbol=none]{C}{B}{A}[K_3]
\pstLineAB[nodesep=-20, linecolor=green]{C}{K_1} % Tracé des hauteurs
\pstLineAB[nodesep=-20, linecolor=green]{B}{K_2}
\pstLineAB[nodesep=-20, linecolor=green]{A}{K_3}
 

\pstRightAngle{C}{K_1}{A} % Un angle droit au pied des hauteurs
\pstRightAngle{B}{K_2}{C}
\pstRightAngle{A}{K_3}{B}

\pstInterLL[PosAngle=90]{A}{A’}{B}{B’}{G} % G comme intersection de deux médianes
\pstInterLL[PosAngle=90]{M_1}{M_2}{M_3}{M_4}{O} % O comme intersection de deux médiatrices
\pstInterLL[PosAngle=90]{A}{K_3}{B}{K_2}{H} % H comme intersection de deux hauteurs

\pstLineAB[nodesep=-20, linecolor=magenta, linewidth=2pt]{H}{G} % la droite d’Euler

\pstCircleOA{O}{A} % Le cercle circonscrit
\end{pspicture}

Je vous renvoie à la documentation pour les détails. Toute cette figure ne dépend que des coordonnées des points A, B et C de départ. J’utilise le calcul du milieu, la médiatrice, la projection orthogonale et l’intersection de droite.

Et voilà :

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Pst-eucl : la géométrie euclidienne pour Pstricks

Pstricks est une suite de macro-commandes pour insérer des figures PostScript directement dans un fichier LaTeX. C’est un des moyens les plus élégants et efficaces pour obtenir des figures de grandes qualité.

Comme LaTeX, de nombreuses extensions sont disponibles pour la plupart des situations. Pour mes cours au collège, j’utilise souvent pst-eucl, par Dominique Rodriguez. C’est un équivalent de Geogebra, mais en ligne de commande. On définit les points de départ, puis on utilise des commandes du type, milieu, médiatrice, bissectrice… Je vous renvoie à la documentation pour vous faire une idée.

Vous trouverez dans un autre article un exemple plus complexe illustrant les droites remarquables du triangle.

Voici un exemple que j’utilise en cinquième. Une figure de départ et c’est pst-eucl qui se charge de faire les symétries centrales et axiales.

Ajouter cette ligne dans le préambule du fichier tex

\usepackage{pstricks, pst-eucl}

Puis

\begin{pspicture}(24,16)
\psset{PointSymbol=+}
\pstGeonode[PosAngle={-90,-90,270,-45,45,45,90,45,-45,235}, CurveType=polygon](5,3){A}(8,3){B}(11,5){C}(11,8){D}(8,8){E}(8,11){F}(5,8){G}(2,8){H}(2,5){I}(5,5){J}
\pstGeonode[PointSymbol=none, PointName=none](16,15){D_1}(10,0){D_2}
\pstGeonode[dotsize=4pt, PosAngle=90](12,10){O}
\pstLineAB[nodesep=-10]{D_1}{D_2}
\pstOrtSym[CurveType=polygon]{D_1}{D_2}{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}[A’,B’,C’,D’,E’,F’,G’,H’,I’,J’]
\pstSymO[CurveType=polygon]{O}{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}[A »,B »,C »,D »,E »,F »,G »,H »,I »,J »]
\end{pspicture}

\psset permet de faire passer des options, comme PointSymbol que je préfère en + plutôt que x ou *.

La ligne \pstGeonode permet de définir les points par leurs coordonnées, l’argument PosAngle indique la position du nom du sommet par rapport au point, l’argument CurveType permet de joindre les points.

Je définis une droite par deux points invisibles D_1 et D_2 et un centre de symétrie O

\pstOrtSym et \pstSymO terminent le boulot.

Je peux affirmer aux élèves que c’est bien l’ordinateur qui a produit le calque de correction !

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Comment résoudre le Rubik’s Cube ?

Je viens de rédiger un petit document dont je suis assez content pour aider mes élèves à résoudre le cube en vue du concours Inter Rubik.

Il est est format A4 (6 pages) mais contient une version en livret A5. (Version du 15 novembre 2011)

C’est aussi une occasion pour moi d’apprendre à utiliser Sketch. Ce document est intégralement réalisé en \LaTeX avec du pstricks produit par Sketch. Voir mes premiers essais…

Si cela vous intéresse, voici le fichier source en LaTex, et le fichier Sketch.

C’est pas mal non ??

Lire d’autres articles sur les mathématiques qui m’amusent…

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LaTeX et Sketch

J’utilise depuis longtemps pstricks pour intégrer directement des figures géométriques dans mes document en \LaTeX. En particulier les exportations depuis Geogebra sont un moyen simple de faire cette intégration sans mettre les doigts dans le code… même si c’est drôle !

Le soucis est avec les figures en 3D. Je viens de découvrir Sketch, un petit soft sous Linux mais qui fonctionne aussi avec les Fenêtres.

Sketch permet de construire de manière assez mathématique une objet en 3D puis en indiquant le point de vue, en ajoutant translation, rotation… il vous fournit le code pstricks prêt à insérer dans vos fichiers \LaTeX.

Un petit exemple :

—   Fichier Cube.sk  —

def c 3      % Taille du cube
def cube{
polygon[cull=false,fillcolor=green](0,0,0)(c,0,0)(c,c,0)(0,c,0)  % cull=false pour une histoire de face cachée
polygon[cull=false,fillcolor=blue](0,0,c)(c,0,c)(c,c,c)(0,c,c)
polygon[cull=false,fillcolor=orange](0,0,0)(0,c,0)(0,c,c)(0,0,c)
polygon[cull=false,fillcolor=red](c,0,0)(c,c,0)(c,c,c)(c,0,c)
polygon[cull=false,fillcolor=white](0,0,0)(c,0,0)(c,0,c)(0,0,c)
polygon[cull=false,fillcolor=yellow](0,c,0)(c,c,0)(c,c,c)(0,c,c)
}
put{view ((c,c/2,c),(0,0,0))}{cube}  % je regarde mon cube depuis (c,c/2,c) en direction de (0,0,0)
put{rotate(90,(0,0,0),[c,0,0]) then view ((c,c/2,c),(0,0,0)) then translate([4,0,0])}{cube} % une rotation en plus
put{rotate(180,(0,0,0),[c,0,0]) then view ((c,-c/2,c),(0,0,0)) then translate([0,-5,6])}{cube}

Puis sketch Cube.sk -o Cube.tex

J’obtiens le code pstricks et voici le résultat :

Ce qui est intéressant, c’est de définir le cube de manière mathématique puis de laisser sketch faire les rotations, les translations, le point de vue !

Je viens de rédiger une méthode pour le Rubik’s Cube de cette manière.

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