La planètre R – Hassan Boualem, Robert Brouzet


Voilà un ouvrage particulièrement original qui traite de l’ensemble des nombres réels sous toutes ses coutures. Il s’adresse avant tout aux étudiants en mathématiques mais aussi à tous les curieux. La première partie traite des aspects arithmétiques. On commence avec srqt{2} et Pythagore, puis on aborde le nombre e la question de son irrationnalité, de sa transcendance. Le théorème de Lindemann concernant la transcendance de \pi est démontré. La lecture de cette partie est très accessible. La seconde partie traite en 8 chapitres la construction de l’ensemble des réels. On y parle de suite de Cauchy bien sur mais aussi des coupures de Dedekind, on aborde un résultat de Cantor sur la non-dénombrabilité de \mathcal{R}. La troisième partie décrit quelques sous-ensembles de \mathcal{R}, les parties connexes, les parfaits, les sous-groupes additifs, les parties mesurables, les espaces compacts, les ensembles maigres et gras ainsi que l’ensemble triadique de Cantor.

Ce livre nous propose un joli voyage sur une planète d’une grande richesse. Il a le mérite de rassembler et d’organiser en un même exemplaire de nombreux résultats fondamentaux. Très facile d’utilisation, il propose un système de cotation indiquant le niveau requis pour la lecture et vise à intéresser les premières années comme les agrégatifs.

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