Des nouvelles de l’hypothèse du continu


La lecture de l’excellent «Au nom de l’infini» de Kantor et Graham donne envie de se replonger dans les grands mystères des mathématiques que j’ai rencontré quand j’étais un modeste étudiant. La théorie des ensembles et la notion d’infini est un de ces domaines.

On comprend assez vite que l’ensemble des nombres entiers est un ensemble infini, les jeunes enfants savent bien qu’il n’y a pas de «bout» pour les nombres que l’on compte. On note cet ensemble des entiers naturels ℕ. On appelle cet infini : l’infini dénombrable que Cantor symbolisa par le nombre transfini ℵ0 (aleph 0 ).

Georg Cantor (1845-1918)

Les premiers paradoxes arrivent alors ! L’ensemble des entiers est constitué par les nombres entiers pairs et les nombres entiers impairs. On peut alors avoir le sentiment naif qu’il y a deux fois moins d’entiers pairs que d’entiers naturels, et pourtant il y a exactement autant d’entiers pairs que d’entiers. Pour comprendre cette idée, Hilbert utilise l’image de l’hôtel de Cantor, un hôtel contenant un nombre infini de chambres numérotées grâce aux nombres entiers positifs. On peut imaginer que les nombres entiers pairs arrivent à la porte de cet hôtel, le propriétaire demande alors à chacun de diviser sa valeur par deux pour trouver le numéro de sa chambre, et on constate effectivement que l’hôtel va être complet ! Plus fort encore, si un bus arrive avec une nouvelle infinité de nombre entiers, il est encore possible de les loger dans cet hôtel pourtant complet. Il suffit de demander aux occupants actuels de se rendre dans la chambre dont le numéro est le double de leur chambre actuelle ( 1 va en 2, 2 va en 4 … )  et du coup une infinité de chambres s’est libérée et les nouveaux arrivants peuvent s’installer.

En utilisant un raisonnement semblable ( on parle en math d’ensembles équipotents ) on peut montrer que l’ensemble de toutes les fractions, que l’on note souvent ℚ, est lui aussi de la même taille que l’ensemble des entiers, il est dénombrable.

Cantor montra ensuite que l’ensemble des nombres réels ( c’est à dire tous les nombres que l’on manipule : les entiers, les fractions, mais aussi les racines carrées, les cosinus, sinus, et d’autres nombres pire encore comme π… ) n’est pas dénombrable. Sa méthode de la diagonale montre que l’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable, on appelle cet infini, plus grand que l’infini des entiers, l’infini du continu.

L’hypothèse du continu émise par Cantor consiste à dire que l’infini du continu est ℵ1, c’est à dire «l’infini suivant» l’infini du dénombrable. Dit autrement, il n’existerait pas d’infini dont la «taille» est comprise entre celui des entiers naturels et celui des nombres réels. Pour information, Cantor a décrit dans sa théorie des nombres transfinis des ensembles infini plus grand que ℵ1, comme l’ensemble des sous-ensembles des nombres réels qui lui est de taille ℵ2…

Kurt Gödel (1906-1978)

Jusqu’à présent j’avais cru comprendre que Gödel avait montré que la question de l’hypothèse du continu était indécidable et que du coup il n’y avait plus rien à chercher, idée confirmé vers 1960 par Cohen. Ce résultat concluait le premier des 23 problèmes posés par Hilbert lors de la fameuse conférence de 1900.

Il semble que mon inculture est grande puisque cette question de recherche est toujours vivante. Un travail récent de Woodin montre même que sous des conditions de nouveaux axiomes, l’hypothèse du continu serait fausse et qu’il existerait donc bien un infini entre le dénombrable et le continu. C’est pour moi une nouvelle exceptionnelle, cela bouleverse ma compréhension balbutiante des infinis.

William Hugh Woodin (1955- )

Je vous renvoie à ce texte issue d’une conférence Bourbaki pour de véritables informations mathématiques !

Lire également d’autres nouvelles des mathématiciens sur cette page.

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Publié dans Mathématiques. Étiquettes : . 3 Comments »

3 Réponses to “Des nouvelles de l’hypothèse du continu”

  1. jean6eudes Says:

    Je croix que tout ça est vraiment trop compliqué pour moi. :)
    Mon cerveau est en ébullition et j’ai même pas compris la grande majorité des choses. LOL
    Il faudrait peut-être que j’achète le livre « Au nom de l’infini » mais il est un peu cher quand même (23€, c’est plus cher qu’un cher qu’un Rubik’s cube !!!).
    Je pense que je vais plutôt aller le chercher à la bibliothèque, ça sera plus simple et moins coûteux. ;)
    J’essayerai de relire l’article une fois que mon cerveau ira mieux.
    Bonnes vacances,
    jean6eudes

    • Fabrice ARNAUD Says:

      Un élève de troisième qui se lance dans l’hypothèse du continu…. Ouahhh. En plus, j’ai beau être l’auteur de ce petit article, je ne suis pas sûr moi même de comprendre grand chose…

      Bonnes vacances

      • jean6eudes Says:

        Je ne savais pas qu’il était si compliqué.
        Je ne suis toujours pas allé à la bibliothèque mais si vous, vous ne le comprenez pas, alors il est presque impossible que je le comprennes…
        Mais c’est pas grave, je le chercherai quand même et j’essayerai quand même de lire quelques lignes [si je le trouve].
        jean6eudes


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