Droites remarquables du triangle et pst-eucl

Un deuxième exemple qui utilise l’extension euclidienne pst-eucl de pstricks.

\begin{pspicture}(16,16)
\psset{PointSymbol=+}   % Je préfére les + pour les points
\pstGeonode[PosAngle={180,45,0}, CurveType=polygon](0,0){A}(5,14){B}(16,0){C}  % Le triangle
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{A}{B}{C’}  % Définition et tracé des milieux
\pstMiddleAB[PosAngle=-135]{A}{C}{B’}
\pstMiddleAB[PosAngle=110]{B}{C}{A’}
\pstLineAB[nodesep=-2, linecolor=red]{A’}{A} % Tracé des médianes en rouge, elles dépassent de 2pt
\pstLineAB[nodesep=-2, linecolor=red]{B’}{B}
\pstLineAB[nodesep=-2, linecolor=red]{C’}{C}
% Ci-dessous les médiatrices avec des points cachés et un codage automatique
\pstMediatorAB[CodeFig=true, CodeFigColor=black, SegmentSymbol=pstslash,   PointName=none, PointSymbol=none, nodesep=-20, linecolor=blue]{B}{A}{M_1}{M_2}
\pstMediatorAB[CodeFig=true, CodeFigColor=black, SegmentSymbol=pstslashh,  PointName=none, PointSymbol=none, nodesep=-20, linecolor=blue]{A}{C}{M_3}{M_4}
\pstMediatorAB[CodeFig=true, CodeFigColor=black, SegmentSymbol=pstslashhh, PointName=none, PointSymbol=none, nodesep=-20, linecolor=blue]{C}{B}{M_5}{M_6}
\pstProjection[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{B}{C}[K_1]  % Pied des hauteurs avec une projection
\pstProjection[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{C}{B}[K_2]
\pstProjection[PointName=none, PointSymbol=none]{C}{B}{A}[K_3]
\pstLineAB[nodesep=-20, linecolor=green]{C}{K_1} % Tracé des hauteurs
\pstLineAB[nodesep=-20, linecolor=green]{B}{K_2}
\pstLineAB[nodesep=-20, linecolor=green]{A}{K_3}
 

\pstRightAngle{C}{K_1}{A} % Un angle droit au pied des hauteurs
\pstRightAngle{B}{K_2}{C}
\pstRightAngle{A}{K_3}{B}

\pstInterLL[PosAngle=90]{A}{A’}{B}{B’}{G} % G comme intersection de deux médianes
\pstInterLL[PosAngle=90]{M_1}{M_2}{M_3}{M_4}{O} % O comme intersection de deux médiatrices
\pstInterLL[PosAngle=90]{A}{K_3}{B}{K_2}{H} % H comme intersection de deux hauteurs

\pstLineAB[nodesep=-20, linecolor=magenta, linewidth=2pt]{H}{G} % la droite d’Euler

\pstCircleOA{O}{A} % Le cercle circonscrit
\end{pspicture}

Je vous renvoie à la documentation pour les détails. Toute cette figure ne dépend que des coordonnées des points A, B et C de départ. J’utilise le calcul du milieu, la médiatrice, la projection orthogonale et l’intersection de droite.

Et voilà :

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Pst-eucl : la géométrie euclidienne pour Pstricks

Pstricks est une suite de macro-commandes pour insérer des figures PostScript directement dans un fichier LaTeX. C’est un des moyens les plus élégants et efficaces pour obtenir des figures de grandes qualité.

Comme LaTeX, de nombreuses extensions sont disponibles pour la plupart des situations. Pour mes cours au collège, j’utilise souvent pst-eucl, par Dominique Rodriguez. C’est un équivalent de Geogebra, mais en ligne de commande. On définit les points de départ, puis on utilise des commandes du type, milieu, médiatrice, bissectrice… Je vous renvoie à la documentation pour vous faire une idée.

Vous trouverez dans un autre article un exemple plus complexe illustrant les droites remarquables du triangle.

Voici un exemple que j’utilise en cinquième. Une figure de départ et c’est pst-eucl qui se charge de faire les symétries centrales et axiales.

Ajouter cette ligne dans le préambule du fichier tex

\usepackage{pstricks, pst-eucl}

Puis

\begin{pspicture}(24,16)
\psset{PointSymbol=+}
\pstGeonode[PosAngle={-90,-90,270,-45,45,45,90,45,-45,235}, CurveType=polygon](5,3){A}(8,3){B}(11,5){C}(11,8){D}(8,8){E}(8,11){F}(5,8){G}(2,8){H}(2,5){I}(5,5){J}
\pstGeonode[PointSymbol=none, PointName=none](16,15){D_1}(10,0){D_2}
\pstGeonode[dotsize=4pt, PosAngle=90](12,10){O}
\pstLineAB[nodesep=-10]{D_1}{D_2}
\pstOrtSym[CurveType=polygon]{D_1}{D_2}{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}[A’,B’,C’,D’,E’,F’,G’,H’,I’,J’]
\pstSymO[CurveType=polygon]{O}{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}[A »,B »,C »,D »,E »,F »,G »,H »,I »,J »]
\end{pspicture}

\psset permet de faire passer des options, comme PointSymbol que je préfère en + plutôt que x ou *.

La ligne \pstGeonode permet de définir les points par leurs coordonnées, l’argument PosAngle indique la position du nom du sommet par rapport au point, l’argument CurveType permet de joindre les points.

Je définis une droite par deux points invisibles D_1 et D_2 et un centre de symétrie O

\pstOrtSym et \pstSymO terminent le boulot.

Je peux affirmer aux élèves que c’est bien l’ordinateur qui a produit le calque de correction !

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LaTeX et Sketch

J’utilise depuis longtemps pstricks pour intégrer directement des figures géométriques dans mes document en \LaTeX. En particulier les exportations depuis Geogebra sont un moyen simple de faire cette intégration sans mettre les doigts dans le code… même si c’est drôle !

Le soucis est avec les figures en 3D. Je viens de découvrir Sketch, un petit soft sous Linux mais qui fonctionne aussi avec les Fenêtres.

Sketch permet de construire de manière assez mathématique une objet en 3D puis en indiquant le point de vue, en ajoutant translation, rotation… il vous fournit le code pstricks prêt à insérer dans vos fichiers \LaTeX.

Un petit exemple :

—   Fichier Cube.sk  —

def c 3      % Taille du cube
def cube{
polygon[cull=false,fillcolor=green](0,0,0)(c,0,0)(c,c,0)(0,c,0)  % cull=false pour une histoire de face cachée
polygon[cull=false,fillcolor=blue](0,0,c)(c,0,c)(c,c,c)(0,c,c)
polygon[cull=false,fillcolor=orange](0,0,0)(0,c,0)(0,c,c)(0,0,c)
polygon[cull=false,fillcolor=red](c,0,0)(c,c,0)(c,c,c)(c,0,c)
polygon[cull=false,fillcolor=white](0,0,0)(c,0,0)(c,0,c)(0,0,c)
polygon[cull=false,fillcolor=yellow](0,c,0)(c,c,0)(c,c,c)(0,c,c)
}
put{view ((c,c/2,c),(0,0,0))}{cube}  % je regarde mon cube depuis (c,c/2,c) en direction de (0,0,0)
put{rotate(90,(0,0,0),[c,0,0]) then view ((c,c/2,c),(0,0,0)) then translate([4,0,0])}{cube} % une rotation en plus
put{rotate(180,(0,0,0),[c,0,0]) then view ((c,-c/2,c),(0,0,0)) then translate([0,-5,6])}{cube}

Puis sketch Cube.sk -o Cube.tex

J’obtiens le code pstricks et voici le résultat :

Ce qui est intéressant, c’est de définir le cube de manière mathématique puis de laisser sketch faire les rotations, les translations, le point de vue !

Je viens de rédiger une méthode pour le Rubik’s Cube de cette manière.

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