Cahiers de vacances gratuits pour préparer la rentrée

La plupart des parents souhaite faire travailler leurs petits ( et grands ) pendant les vacances pour préparer le mieux possible la prochaine (et parfois angoissante) année scolaire. Je ne reviendrai pas ici sur le point de vue des chronobiologistes ou des psychologues qui pensent le plus grand bien ou le plus grand mal des cahiers de vacances que personne ne termine jamais et cela de génération en génération ( moi aussi mes parents avaient mauvaise conscience pendant les vacances ! ).

En tout cas les sollicitations sont nombreuses sur internet et en librairie. Je vous signale ici l’initiative de l’éducation nationale qui à travers le CNED depuis 2009 propose du soutien scolaire gratuit sur son site Académie en ligne.

On trouve des cours pour tous les niveaux de l’école, du collège et du lycée dans toutes les sections et toutes les matières. A première vue rien qui me plaise dans la mesure où tout est en ligne et que comme vous j’aime bien les cahiers version papier. La bonne surprise se trouve quand on fouille dans les chapitres et que l’on tombe sur la page Aller plus loin. Là se trouve alors des ressources à télécharger au format pdf, regardez par exemple cette page pour les mathématiques en CM2. Une centaine de pages de mathématiques pour préparer le CM2, très bon pour les vacances, mais pas mal pour le professeur !

Pour les bricoleurs on trouve directement le serveur de fichier en allant sur ce lien http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/. Puis il faut fouiller, en ce qui me concerne avec wget j’ai complètement copié le site !

Autre ressource pour les mathématiques, je vous rappelle que les cahiers d’exercices et les livres de Sesamath sont téléchargeables gratuitement en allant ici !

Bon courage aux parents…

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Des nouvelles de l’hypothèse du continu

La lecture de l’excellent «Au nom de l’infini» de Kantor et Graham donne envie de se replonger dans les grands mystères des mathématiques que j’ai rencontré quand j’étais un modeste étudiant. La théorie des ensembles et la notion d’infini est un de ces domaines.

On comprend assez vite que l’ensemble des nombres entiers est un ensemble infini, les jeunes enfants savent bien qu’il n’y a pas de «bout» pour les nombres que l’on compte. On note cet ensemble des entiers naturels ℕ. On appelle cet infini : l’infini dénombrable que Cantor symbolisa par le nombre transfini ℵ0 (aleph 0 ).

Georg Cantor (1845-1918)

Les premiers paradoxes arrivent alors ! L’ensemble des entiers est constitué par les nombres entiers pairs et les nombres entiers impairs. On peut alors avoir le sentiment naif qu’il y a deux fois moins d’entiers pairs que d’entiers naturels, et pourtant il y a exactement autant d’entiers pairs que d’entiers. Pour comprendre cette idée, Hilbert utilise l’image de l’hôtel de Cantor, un hôtel contenant un nombre infini de chambres numérotées grâce aux nombres entiers positifs. On peut imaginer que les nombres entiers pairs arrivent à la porte de cet hôtel, le propriétaire demande alors à chacun de diviser sa valeur par deux pour trouver le numéro de sa chambre, et on constate effectivement que l’hôtel va être complet ! Plus fort encore, si un bus arrive avec une nouvelle infinité de nombre entiers, il est encore possible de les loger dans cet hôtel pourtant complet. Il suffit de demander aux occupants actuels de se rendre dans la chambre dont le numéro est le double de leur chambre actuelle ( 1 va en 2, 2 va en 4 … )  et du coup une infinité de chambres s’est libérée et les nouveaux arrivants peuvent s’installer.

En utilisant un raisonnement semblable ( on parle en math d’ensembles équipotents ) on peut montrer que l’ensemble de toutes les fractions, que l’on note souvent ℚ, est lui aussi de la même taille que l’ensemble des entiers, il est dénombrable.

Cantor montra ensuite que l’ensemble des nombres réels ( c’est à dire tous les nombres que l’on manipule : les entiers, les fractions, mais aussi les racines carrées, les cosinus, sinus, et d’autres nombres pire encore comme π… ) n’est pas dénombrable. Sa méthode de la diagonale montre que l’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable, on appelle cet infini, plus grand que l’infini des entiers, l’infini du continu.

L’hypothèse du continu émise par Cantor consiste à dire que l’infini du continu est ℵ1, c’est à dire «l’infini suivant» l’infini du dénombrable. Dit autrement, il n’existerait pas d’infini dont la «taille» est comprise entre celui des entiers naturels et celui des nombres réels. Pour information, Cantor a décrit dans sa théorie des nombres transfinis des ensembles infini plus grand que ℵ1, comme l’ensemble des sous-ensembles des nombres réels qui lui est de taille ℵ2…

Kurt Gödel (1906-1978)

Jusqu’à présent j’avais cru comprendre que Gödel avait montré que la question de l’hypothèse du continu était indécidable et que du coup il n’y avait plus rien à chercher, idée confirmé vers 1960 par Cohen. Ce résultat concluait le premier des 23 problèmes posés par Hilbert lors de la fameuse conférence de 1900.

Il semble que mon inculture est grande puisque cette question de recherche est toujours vivante. Un travail récent de Woodin montre même que sous des conditions de nouveaux axiomes, l’hypothèse du continu serait fausse et qu’il existerait donc bien un infini entre le dénombrable et le continu. C’est pour moi une nouvelle exceptionnelle, cela bouleverse ma compréhension balbutiante des infinis.

William Hugh Woodin (1955- )

Je vous renvoie à ce texte issue d’une conférence Bourbaki pour de véritables informations mathématiques !

Lire également d’autres nouvelles des mathématiciens sur cette page.

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Bouteille jetée à la mer pour mathématicien amateur…

Un des premiers articles de ce blog concernait la fascinante histoire du théorème de Fermat et se résolution par Andrew Wiles. Je décrivais alors les nombreuses tentatives de résolution de ce terrible défi, résolution qui a occupé jusque là folie des générations entières de mathématiciens mais aussi de nombreux amateurs. Marcel Pagnol par exemple qui était curieux de tout et fasciné par les nombres premiers et cette fabuleuse conjecture au point d’avoir aussi tenté de produire sa propre démonstration.

Je ne m’attendais pas à autant de commentaires sur cet article, et je vous invite à les consulter. On y trouve des tentatives de résolution de quelques internautes. Loin de moi l’idée de me moquer ou de juger qui que ce soit. Je fais simplement part ici de mon étonnement mêlé d’émotion face à ces chercheurs en herbe porté par la passion des mathématiques.

Je vous renvoie en particulier au dernier commentaire reçu où un lecteur de ce blog a scanné une quarantaine de pages de démonstration retrouvées à la mort de son père. Si l’un d’entre vous souhaite les lire et y apporter un regard critique et bienveillant…

Voici le premier message de ce monsieur, et ici le liens vers la démonstration de son père.

 

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Deux brochures grand public sur les mathématiques

Sur le site de la SMF (Société Mathématique de France) vous trouverez ces deux brochures un peu anciennes mais qui se proposent de répondre à la sempiternelle question : «Mais, Msieur, ça sert à quoi les mathématiques ? ». Ma réponse habituelle, « Ben… a rien, comme la philosophie, la littérature et la musique classique… » étant peu satisfaisante, ces deux brochures sauront être convaincantes !

Brochure de la SMF : L'explosion des mathématiques                               Brochure SMF ONISEP : Zoom sur les métiers des mathématiques

Le nom des grands nombres : échelle longue

Comment doit-on nommer les grands nombres si l’on souhaite respecter les règles de la langue française ?

On a beau enseigner les mathématiques, un peu de recherche est parfois nécessaire. Il faut avouer que dans la vie quotidienne il est rare d’avoir à parler de nombres supérieurs au milliard. Les puissances de 10 suffisent souvent dans ce cas. Cependant une règle existe !

En 1961 est publié au journal officiel la règle spécifiant l’usage de l’échelle longue dans la désignation des grands nombres. Dans ce système le terme billion désigne 10^{12}, alors que dans la dénomination dite échelle courte, utilisée dans le système anglo-saxon, billion correspond à 10^{9}, d’où la confusion.

Bien que le journal officiel préconise l’échelle longue, ce qui oblige à utiliser l’expression mille millions pour milliard, l’usage du nom milliard et de ses dérivés reste accepté (système Jacques Peletier).

Voici un résumé de la norme échelle longue utilisée en France :

1~000 Mille
1~000~000 Million
1~000~000~000 Milliard ou Mille millions
10^{12}=1~000~000~000~000 Billion
10^{15} Billiard ou Mille billions
10^{18} Trillion
10^{21} Trilliard ou Mille trillions
10^{24} Quadrillion
10^{27} Quadrilliard ou Mille quadrillion

Attention donc aux différences entre les États-Unis et nous. Le PIB des USA en 2008 est environ 14~000~000~000~000 de dollars, c’est à dire fourtheen thousand billion dollars pour un américain et quatorze billions de dollars pour un français.

Je vous laisse lire la suite sur Wikipédia, vous découvrirez ce qu’est un unoquinquagintilliard. A lire sur ce site très complet.

Les 11 médailles Fields françaises

Attribué tous les quatre ans depuis 1936, la médaille Fields est la plus haute des récompenses en mathématiques.

La France est la deuxième nation dans ce classement avec 11 médailles ( les États-Unis sont en tête avec 13 médailles).

Voici nos illustres lauréats :

Laurent Schwartz

1950

Jean-Pierre Serre

1954

René Thom

1958

Alexandre Grothendieck

1966


Alain Connes

1982

Pierre-Louis Lions

1994

Jean-Christophe Yoccoz

1994

Laurent Lafforgue

2002

Wendelin Werner

2006

Ngô Bau Châu

2010

Cédric Villani

2010

Lire également d’autres nouvelles des mathématiciens sur cette page.

Site mathématique de l’université de l’Utah

Lu dans le Bulletin vert °481 de l’APMEP.

utah

A visiter absolument la bibliothèque virtuelle de mathématiques, une multitude d’applications java pour entraîner nos élèves du CP à la terminale. Je vous conseille en particulier la balance algébrique que j’imagine bien projeter sur mon tableau pour illustrer la résolution d’équations au collège.

Je reprends la conclusion de Bruno Alaplantive qui nous décrit ce site dans le bulletin vert, et que je remercie ici :

« Qu’ils élisent leur président ou prennent ici le temps de traduire leurs activités en français : décidément, les américains sont étonnants ! « 

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